数学中的无穷大和无穷小究竟是什么？

自数学发展以来，无穷大就一直困扰着人类。我们必须认识到，无穷大不是一个具体的数，而是一个想法，它只存在于抽象中。

无穷大很奇怪

无穷大不能是一个具体的数，比如说是x，我们可以根据加法的逻辑，x加一，就创造了一个新的无穷数。之后我们还可以再加一，生成一个更大无穷数。实际上，我们可以无穷大加上无穷大，创造出所有无穷的无穷，然后我们可以再加上一，循环往复。

无穷大的反面被称为无穷小，它的性质也同样奇怪。与整数不同的是，实数不是固定的，它们的分裂性质使我们能够在任意两个数之间找到并创造无数个数。

一个数可以被多次组合，多次分割。在0和1之间可能有100个数，从0.01到0.99之间甚至是几百万个，只需要在小数点后加0，一直分割这个数，就会产生许多新的数。因此，虽然0.00000000000000001 看起来很小，但可以把它除以10，从而创建一个新的无穷小的0.000000000000000001。

因此，就像无穷大一样，无穷小只存在于抽象中，但它的不确定性质不仅对数学家来说是非常令人不安的，对物理学家来说也是这样。

无穷小的误差

数学是我们用来表达物理思想的语言，所以在我们对现实本质的认识中，数学上的不一致意味着物理上的不一致。这个不一致是由于我们不确定无穷小的值，无穷小的值一直被用来推导许多关键的公式。事实上，数学的一个分支都建立在无穷小的基础上，如果没有它，物理学的进步就会很缓慢。

举个例子，圆的面积公式。开普勒通过将一个圆分成多个三角形来计算它的面积。因此，圆的面积就是每个三角形的面积之和。一个圆可以被分成有两个直径的四个三角形，然而，这些三角形的边并不能正确地近似曲线（排除了一些空间），所以计算的面积是错误的。

为了减少这个误差，我们可以画出更多的直径来创造更多的短边三角形。虽然误差以这种方式减少了，但仍然不为零。因此，我们进一步将圆分成越来越多的三角形，直到没有空间被排除在外。然而，为了完全消除这个错误，我们必须将它划分为无限多个三角形。因为一条直线可以被解释为一个大圆的一部分，我们可以说，这个圆是由无限的线组成的，这是由无限三角形无穷小的底边来逼近的。

人们可能会注意到，三角形的序列让人想起了中国扇子。所有三角形都面积相等，我们可以通过分散或拉伸这个面积来把扇子变成一个大直角三角形。它们的周长改变了，但是整个面积仍然是一样的。这个直角三角形的顶端是圆的圆心，它的高度是扇形的长度，即圆的半径，底边是圆的周长。面积是1/2乘以底乘以高，也就是1/2乘以r乘以2πr ，等于πr^2。这是正确的答案，但结果仍然是错误的。这些底边必须真正是无限小的，所以即使开普勒画了非常非常小的三角形，我们知道他还可以画得更多。当他停止画三角形的时候，他就留下了空间，虽然真的是极小的空间，但仍然不是零。曲线没有完全近似，圆的面积计算是有点错误的。虽然这可能会让数学家感到不舒服，但大多数人忽略了这些差异。

由莱布尼茨和牛顿独立发明或发现的微积分，也是建立在无穷小的基础上的。这条数学分支是关于曲线，关于变化的。例如，当我们对一个函数做积分运算时，我们实际上是计算它所画曲线下的面积。然而，就像计算一个圆的面积一样，我们通过近似无穷小的矩形曲线来计算它。矩形越细，误差就越小。

一个矩形的面积是它长度，即曲线上的那个点在y轴上的值乘以它的宽度，即我们称之为dx的无穷小单位。我们计算每个矩形的面积并对它们求和来确定曲线下的面积。这在物理上很有用，例如，一个物体速度曲线下的面积给出了位移值，但是结果不应该是错误的？就像圆的面积一样？

微积分出现后，这个难以根除、无法解决的问题困扰了数学家们两个世纪，直到“极限”的概念被改善。在牛顿和莱布尼茨的研究中，极限是绝对的，但在19世纪早期，它们被修改和重新定义。这些新观念在数学上是严谨和一致的。虽然极限使得数学家最终摆脱无穷小，但我们还没有解决的是无穷大。