一次家庭作业意外搞定 40 年前的数学猜想,牛津小哥:我只研究了几个礼拜
消息来源:baojiabao.com 作者: 发布时间:2024-05-16
只是完成一次普通家庭作业,就把困扰了数学家们几十年的猜想搞出了新花样?!
没错,这是来自牛津大学的 Thomas Bloom 的亲身经历。
在一次阅读小组的论文分享上,他被要求解读一篇 2003 年发表在《数学年刊》上的经典论文。这篇论文证明了一个与"最古老数学问题"埃及分数有关的猜想。
简单来说,猜想认为:
将大于 1 的整数任意分成有限个子集,必然有一个子集中的部分整数倒数加起来为 1,例如只要有一个子集中有 2、3、6,就有 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。
这一猜想被命名为 Erdős-Graham 猜想。
然而,这版 2003 年的证明还有很多待解决的疑惑:
Thomas Bloom 在解读论文的过程中,也发现这版证明对子集的要求有点高,很多特殊情况下没办法成立。
再仔细一看,他突然发现,这版证明还存在着可以继续改善的地方!于是借着这次交作业的机会,Thomas Bloom 在这篇论文的基础上提出了一种"强化版"证明思路,整个过程甚至只用了几周时间。
就连数论领域著名学者、蒙特利尔大学教授 Andrew Granvill 都感叹这种做法的不可思议:
此前我只是觉得,这是一个不可能被解决的问题,任何头脑正常的人都没法做到。
所以,这一猜想究竟是什么,Bloom 的证明方法又究竟"不可思议"在哪里?
一个与"最古老数学问题"有关的猜想
在数学里,任意有理数都可以表示成分数,且分子分母都是整数。
但是在 3000 多年前的古埃及,他们的分数只有分子为 1 一种情况,我们现在叫它单位分数。也就是说,他们的字典里没有"3/4"这类东西,因为 3/4 也需要被写成 1/4+1/2。
古埃及的文字里,一只眼睛下面放一个数字就代表了一个单位分数。
从 1 到 100 万都有相应的图形。
虽然它和我们现在的数学相去甚远,但其实所有分数都可以写成单位分数之和的形式。因此这种表示方法被称作古埃及分数。
显然,1 也可以写成古埃及分数:1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。
这个看似简单的问题经久不衰,1970 年代,著名数学家 Paul Erdős 和 Ronald Graham 提出了一个关于古埃及分数的猜想:
把正整数划分成若干个子集,那么必然有一个子集中存在一组数,可以把 1 表示成古埃及分数形式。
▲ 从左至右依次为 Paul Erdős 和 Ronald Graham 夫妇(注:Ronald Graham 中文名"葛立恒",就是提出葛立恒数的那位数学家)
比如上面的 1 = 1/2 + 1/3 + 1/6,某个子集中包含这 2、3、6 这三个数,就可以做到。
那么如果很不巧,2、3、6 被分配到不同的子集中,还可以把 1 拆成古埃及分数形式吗?
其实也是可以的,包含 {2、3、12、18、36} 一组整数也行:
表示 1 的方法千千万,总有符合条件一组数满足条件。
达特茅斯学院的数论学者 Carl Pomerance 对此评价道:"这可能是有史以来最古老的问题。"
没想到的是,这个最古老的问题最近又发出新芽。来自牛津大学的数学家 Thomas Bloom 最近不但提出了比 Erdős 更厉害的"强化版",还亲自证明了它。
几周就证明了一个"加强版"
那篇近 20 年前的论文,由一位名叫 Ernie Croot 的数学家撰写,2003 年发表在数学领域顶级期刊《数学年刊》上。
他解决 Erdős-Graham 问题的"基础版本",把所有整数随机分配到不同的桶里,至少有一个桶必须包含一组整数,其倒数和等于 1。
Bloom 仔细阅读后发现,Croot 的方法实际上比最初看起来更强大:"所以我研究了几周,这个更强大的结果就出来了。"
Bloom 给出的结论是,并不需要把整数分成若干个有限集合,只要集合满足"正密度"的条件,那么这个集合就存在一组整数倒数和为 1。
所谓"正密度"是指某一组整数在全体正整数里所占的比例,比如偶数的密度是 0.5。
假如有一组整数集合记作 A,在前 n 项中不大于 n 的项记作 α,当 n 趋于无穷大时,α/n 极限就是叫做 A 的自然密度。
而 Bloom 提出而条件是密度大于零即可,无论这个密度多低(10%、1%、0.0001% 甚至更低),这显然比把整数分成有限份的条件更加苛刻。
嗯,充分说明哪怕是"读论文"这种科研作业,也要认真一点,说不定读着读着灵感就来了(手动狗头)
作者介绍
Thomas Bloom,目前在牛津大学进行数学方面的研究工作,获得过英国皇家学会大学研究金,后者专门用于给各领域杰出年轻科学家提供科研资金。
Bloom 曾于布里斯托大学获得博士学位,并在剑桥大学进行过博士后相关工作,本科毕业于牛津大学数学与哲学专业。
在进行这项研究之前,他也曾经和获得过"数论界最高奖"柯尔奖的牛津大学教授 James Maynard 合作,完成过一篇关于无方差集的论文。
One More Thing
对于任意有理数,我们都可以用简单的算法找到古埃及分数表示。
最常用的便是贪心算法。
以 7/15 为例,我们先找到最接近它的单位分数 1/3,得到:
7/15 = 1/3 + 2/15
接着寻找最接近剩余项 2/15 的单位分数,即 1/8。以此类推,直到剩余项也是单位分数为止。
7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120
怎么寻找最接近的单位分数呢?将分母除以分子并向上取整即可。
参考链接:
[1]https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/
[2]https://twitter.com/thomasfbloom
[3]https://www.youtube.com/watch?v=yBtluQoghXA
[4]https://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/
[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Graham_problem
[6]http://thomasbloom.org/aboutme.html
[7]https://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04
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