学物理也要用到基础数学,《张朝阳的物理课》推导球坐标系体积元
消息来源:baojiabao.com 作者: 发布时间:2024-05-17
2 月 20 日 12 时,《张朝阳的物理课》第三十期开播。搜狐创始人、董事局主席兼 CEO 张朝阳坐镇搜狐视频直播间。他先带着网友复习麦克斯韦速度分布律,补充了速度分布化为速率分布的细节,引出关于直角坐标系与球坐标系的讨论,并导出球坐标系的体积元。之后以球壳与质点间的引力计算为例,结合巧妙的积分参数变换,得到具体公式,最终发现球壳所受引力可以等效到其质心上,即质量集中到球心。将球壳积分变为球体也具有同样的结论。
"今天是复习和反刍的一天。"张朝阳说,"上节课谈了玻尔兹曼在速度场和重力场的分布,今天本来想讲点玻尔兹曼分布更普遍的证明,但比它更重要的,是组合与熵的概念。这样就得学点热力学、学点数学,补充点基础知识。"
区别与联系:麦克斯韦速度分布与速率分布
张朝阳先带着网友复习如何推导麦克斯韦速度分布。"它重点强调理想气体的各向同性,表明速度分布只与速率有关。"他解释说,依据三个垂直方向上速度分布的独立性,可以将总的速度分布函数分解为各个方向上速度分布函数的乘积;之后取对数,将乘积化为求和的形式,再对某一速度分量求偏导;结合一些简单的变换,就可以用分离变量法,解出各方向上的速度分布,进而回过头来,得到完整的三维速度分布。
利用球坐标系与直角坐标系中体积微元之间的关系,可将速度分布化为速率分布。张朝阳指出,"速率分布显示,粒子速率趋于 0 时,概率密度趋于 0。然而,速度分布却显示,粒子在某方向上的速度为 0 时,概率密度取到最大值。"
怎么理解这个看似矛盾的结果呢?张朝阳解释说,速度分布描述的是,速度处在速度区间 Vx~Vx+dVx、Vy~Vy+dVy、Vz~Vz+dVz 的粒子数,它对 x、y、z 三个分量都有要求,只要其中一个速度分量超出此区间,就不计算在分布里面。但是,速率分布描述的是速率处在速率区间 V~V+dV 的粒子数。由速率与速度的定义,可以知道他们并不是一一对应的。一个速率可以对应多个速度。一个速度区间 A 的粒子,对相应的速率区间 dV 有贡献;但速率区间 dV,包含的不只有速度区间 A 的粒子,还包含了其它速度区间 B、C、D 等的粒子。由速率与速度之间的关系,可以看出,当速率越小,其在球坐标系对应的球面越小,直观来讲就是对应的可取速度状态数越少。所以,即使速度分布在各自速度分量趋于 0 时能取到最大值,对速率分布,当速率趋于 0 时,对应的状态数急剧下降,概率密度趋于 0。
如何定量描述速率区间与速度区间状态数的对应关系呢?张朝阳告诉网友,"这就涉及到球坐标系体积微元的推导。"
几何与变换:球坐标系的体积微元
张朝阳对着示意图边写公式边推导。他说,在球坐标 (r,θ,φ) 所示的某点上,给 θ 做一个微小的变化 dθ,同时也给 φ 做一个微小的变化 dφ,就会在半径为 r 的球面上,划出一个边长分别为 rdθ 与 rsinθdφ 的小面积元,其面积大小为 r^2sinθdθdφ, 若对 r 再做个微小的变化 dr,则会形成一个以前述面积元为底、高度为 dr 的体积微元,其体积大小是 r^2sinθdθdφdr,这就是球坐标区间 θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+dr 所对应的体积。
(推导球坐标系的体积元)
在笛卡尔坐标系里,体积微元是 dxdydz;将积分变量从直角坐标系变换到球坐标系后,就可以将直角坐标的体积微元换成 r^2sinθdθdφdr 再继续积分。当然,类似地,反过来从球坐标到直角坐标也是可以进行变换的。
同理,将 x,y,z 换成速度 Vx,Vy,Vz,速度区间所示的体积微元 dVxdVydVz 对应到球坐标系里的体积微元就是 V^2sinθdθdφdV,其中 V 是速率。所以当速率趋于零时,体积元以 V^2 方式减小到零,这就解释了为什么速率趋于零时对应的速率分布值也趋于零。
分割、换元、组合、等效:计算均匀球体的引力
作为球坐标系的一个典型应用,现在计算质量为 m 的质点与半径为 r 的球壳之间的引力,质点与球心的距离为 R,具体参数如下图所示:
(张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力)
张朝阳继续说明,"设球壳密度为 ρ,半径为 r 的球壳上的小体积元质量为 ρr^2sinθdθdφdr,其与质点的距离设为 l,则球壳与质点 m 之间的引力为:"
如果将 x 与 l 表示为 cosθ 的函数,积分会变得比较难,故尝试选取其它参量作为积分变量。注意到 cosθ 可由其所在的直角三角形的边长表示为:
那么质点 m 与球壳之间的引力为:
现在只剩下 x 与 l 两个参量,只要将其中一个表示成另一个,就可以做积分。张朝阳选择将 x 用 l 表示出来,最终全部化成对 l 的积分。为了完成此目的,注意到包含 θ 所在的直角三角形有勾股定理:
利用此公式可以将 x 表示为:
最后代入积分公式里并完成对 l 的积分后:
注意到球壳的质量为 4πr^2ρdr,R 是质点到球壳的距离,从上述引力的公式可以发现,质点 m 与球壳的引力可以等效地看成是球壳所有质量集中在球心的引力。那么将球壳按照 r 积分起来,就得到质点 m 与球体之间的引力:
他指出,"可以发现,质点与球体的引力也可以等效地把球体质量看成集中在球心,并且即使球体密度与径向距离有关,也不影响此结论。"
"球体在宇宙学里是普遍存在的形状,可以利用这个结论方便简易地得到其万有引力,所以这个结论具有非常重要的意义。"直播结尾,张朝阳告诉网友。
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