数学应该是一门科学…… 吧？

数学是科学吗？答案一方面取决于什么是"数学"，另一方面也取决于什么是"科学"。一部分德高望重的科学哲学家会给出否定的答案，而其他人会坚信"答案是肯定的"。

所以在回答问题之前，我们需要对问题中各个词语的含义达成共识。

什么是科学？

给"科学"下定义本身就是个相当棘手的问题。人们很容易就会说到"科学"（无论有没有前缀和后缀）和"科学的"，但大多数人很难就什么称得上是科学问题而什么不是科学问题提供一个能自圆其说的答案。

我问了一位做大学教授的朋友安德鲁・利亚斯（Andrew Lias）这个问题，他给了我下面的回答：

科学是一种认识论形式，就像任何好的认识论一样，它试图区分真实陈述和虚假陈述，从而实现知识的积累。科学与其他认识论的一个主要区别是它是 a) 系统的和 b) 非教条的。一门正确的科学必须具有证实其主张的方法以及识别和拒绝错误主张的方法。这些方法也应该是系统性的。

让我们先认可这个定义，也认可这里的"真实"与"虚假"是指与"外部"世界的客观实际相一致。

数学看起来不太符合这个定义：公理非常接近教条，它似乎不在乎真与假，甚至不在乎外部世界；数学有证明，但似乎没有实验；数学不遵从科学方法。不过，事实真的如此吗？

一些历史

绝大多数人从未接触过现代数学研究。人们或许知道数学是处理方法、算法和规则的集合（比如二次方程的求根公式、求导数的规则和乘法法则等），或者可能知道欧几里得（Euclid）的公理化模型（引理、证明，定理、证明，推论、证明，所有这些都基于已知的抽象概念和"不证自明"的公理）。但事实上，数学并不是上述二者，尽管有些时候它接近于这些直观印象。

直到 19 世纪，从事"抽象数学"的人都被称为几何学家，他们通常是哲学家、业余爱好者或利用空闲时间研究相关内容的物理学家和数学家。主要的数学著作要么涉及类似于欧几里得的突破进展，要么是对于解决具体问题的方法和算法的总结归纳（例如丢番图和斐波那契的著作）。几乎所有其他做数学的人也都在做物理。事实上，直到 1800 年代早期，最著名的数学家都以某种方式与物理学联系在一起：牛顿、伯努利、傅里叶，甚至费马；数学家王子高斯的正式职位是天文学家，他在物理学方面做了大量工作。那时的数学与物理混在一起。

唯一难以归入上面分类的数学是数论，在高斯具有里程碑意义的《算术研究》问世之前，它一直被认为是休闲数学。它不是严肃的研究，而是游戏。

在接下来的 19 世纪，转折出现了。数学开始作为一个独立的学科发展起来。一方面，这与过去积累下的一些问题有关：微积分中的基础问题、使用幼稚和直观概念进行证明导致的疑难、以及非欧几何的发现。另一方面，它也有赖于新思想和新方法的爆发：群论、复分析和代数的开端，以及世纪之末的朴素集合论的发展（后来被公理化变体取代）和非构造性存在证明的出现（最著名的是希尔伯特的有限基证明）。

在这场危机中，物理学和数学之间出现了裂痕。虽然大多数数学家仍然致力于解决源自物理学的问题，并且大多数物理学家仍然解决数学问题，但他们的重点有所不同。总的来说，物理学家不太关心基础问题，因为微积分及其推导显然有效。这些疑难、悖论和矛盾对哲学家来说可能很有趣，但它们并不是人们在"真实"问题中可能遇到的事情。然而，数学家们非常关心这些问题，并努力尝试将他们的大厦建立在坚实的基础上。

在这场危机中，出现了两个主要的数学思想流派，克罗内克学派和希尔伯特学派。它们都同意数学需要建立在更坚实的基础上。克罗内克学派相信算法和处理方法是数学的核心，这些算法或方法来自于一些基于经验现实的明确定义的概念；这里的"经验"必须模糊地理解：克罗内克的著名格言是"上帝给了我们整数；其余的是人的工作"，这意味着他认为（可能是无限的）整数集合是一个"经验现实"。他们被称为"建构主义者"、"直觉主义者"或"形式主义者"。对于希尔伯特学派来说，自洽性和趣味性才是最高标准。一个数学理论应该建立在明确陈述的公理和规则的基础上，但问公理是"真"还是"假"是没有意义的。他们认为，唯一必要的问题是：(i) 是否有可能使用公理和规则来证明一个命题及其否命题？(ii) 由此产生的理论是否有趣？如果分别给出了"否"和"是"的回答，那么这个理论将被认为是可以接受的。（问第一个问题的原因是，在经典逻辑的规则下，如果一个命题和它的否定都可以证明，那么任何东西都可以证明。这样的理论，显然是既无趣也无用的。）

然而，这些公理不需要与"现实"有任何关系。希尔伯特曾说："在几何公理系统中，必须总是可以用'桌子'、'椅子'和'啤酒杯'代替'点'、'线'和'面'。" 也就是说，公理的实际含义是无关紧要的；它们的语义内容在数学中不起作用。

最后，大多数数学家接受了希尔伯特学派的观点。主流数学家将数学描述为遵循经典欧几里得公理的模型。也许可以在布尔巴基的作品中可以找到一些典型的例子。它还极大地影响了数学论文的写作和高等数学的教学方式。后面还会更详细地说明。

如今，数学被粗略分为两种：应用数学和纯数学。应用数学是由实际问题抽象出的数学，比如统计和微分方程等。纯数学处理理论框架产生的问题，通常只关于数学。然而，这种区别在很大程度上是人为的。例如，数论曾一度被认为是最纯粹的纯数学，是绝对不可能有实际应用的数学分支。然而，近年来，它已成为现代密码学的基石，并发展出非常强大的应用分支。

为什么要讲历史？

介绍上面这些内容有什么意义？嗯，关键是希尔伯特学派在 20 世纪和今天对数学产生了非常大的影响。当一个人研究数学时，这种影响反过来又有助于产生和推崇一种特定的写作风格。这就是许多人都知道的枯燥的定义-引理-定理-推论风格。

这种风格的"问题"在于它掩盖了数学是如何完成的。从事专业研究的数学家不会先写出定义，然后写定理及其证明，中间还将某些关键步骤作为引理分开。研究论文和书籍中报道数学的方式与数学实际的研究方式大不相同。

这种流行风格导致除了专业的数学研究人员之外每个人都倾向于对数学的研究方式有偏见。这反过来又导致一些哲学家得出结论，数学不是一门科学，因为它的方法（显然）与其他经验科学的方法如此不同。我将在下次文章论证，一旦我们超越了写作风格所提供的表象并真正接触到数学的研究方式，那么这个结论实际上是毫无根据的。

这种风格的另一个影响是，希尔伯特学派从一开始，尤其是在戈德尔（Goedel）、图灵（Turing）和丘奇（Church）等人的工作之后，就放弃了"真"和"假"的观念，转而支持"可证明"、"可证伪"和"不可判定"的观念。我们对科学的定义非常强调真理，因此似乎也可以得出这样的结论，只要数学似乎无论如何都不关心真假，它就不能被视为科学或科学的探索。

数学究竟是不是科学？

高斯称数学为"科学的女王和仆人"。几乎每个人都至少同意"仆人"的部分：不可否认，数学在科学中起着重要的支持作用。这种支持不仅在物理或化学领域，而且在其他科学领域也越来越明显。统计学是医学从艺术向科学转变的基石。对于大多数社会科学而言，它们所利用的数学越多，研究可重复性就越会好、就会越科学。然而，关于数学是一门科学（更不用说"科学女王"）的说法似乎缺乏支持。

首先，数学是否遵循科学方法，观察、假设、实验、测试、验证？

尽管有些人可能会感到惊讶，但答案确实是肯定的。这就是数学论文的流行风格不利于大众准确理解研究性数学之处。真正从事研究的数学家不会先写一个定理然后证明它。她通常和自然科学家一样在未知中摸索。她会思考一些具体的例子（观察），并检查它们有没有特殊的性质；然后提出一些具有一般性和具体性的问题，并且试图针对具体案例回答它们；接下来，她会给出一般性陈述（假设），并继续尝试证明（实验）；有时，如果失败了，她会尝试构建一个反例（证伪和测试）。

对于特别棘手的问题，提出具体的例子被认为是一种有价值的追求，类似于对理论难点的实验证实。比如，检查很大的范围内的所有奇数是否完美可能并非是奇完美数不存在的数学证据，但它仍然有帮助。证实 ABC 猜想所暗示的某些推论并不能证明猜想本身，但这会给数学家一些"街头信誉"（并使人们更有兴趣区证明猜想）。类似的例子还有很多。

另一方面，数学与物理学等科学存在一些显著差异：虽然有观察，但似乎没有对"现实世界"的观察。数学家总是要求"证明"，这是一个比任何其他科学都严格得多的标准！以牛顿万有引力定律为例。声称该定律适用于任何地方（它的"普适性"）永远不会使数学家满意。对于这样的声明，仅仅没有反例是不够的。只有符合数学标准的证明才是正确的。例如，将它与费马大定理进行比较，费马大定理在 350 年来无法找到反例或证明，但这不能被视为真假的（数学）证据。这确实很烦人。只有当完成证明（并经受住检查和验证）时，猜想才会被接受。另一个例子是哥德巴赫猜想，它已经被大量验证；这种验证虽然具有指示性，但还不够。奇完美数的存在性也是如此。对于数学的严谨性有一个笑话，有一位数学家、一位物理学家和一位工程师乘坐火车穿越苏格兰，这时他们看到远处有一只黑色的绵羊。工程师立即断言"在苏格兰，绵羊是黑色的。" 物理学家回答说："不，在苏格兰，有些羊是黑色的。" 然后数学家温和地纠正他："在苏格兰，至少有一只羊是黑色的...... 至少有一面是黑的。"

那么：我们应该如何处理对"证明"的需求以及明显缺乏实际观察的情况？

对于第一点，我认为数学对严格证明的需求并没有真正将数学与其他科学区分开来。只是数学结果必须满足比物理学更严格的标准。但其他科学也为了能够被接受而设定了自己的阈值：不超过一定数量的错误，在一定程度上具有统计学意义的置信度，充分多样的观察、预测等。数学的标准只是在程度上不同（因为这些标准似乎更强并且具有更高的阈值），而没有本质上的不同。

再来看第二点。公理是不是任意陈述？它们是不是被教条地遵循，从不会被质疑或修改吗？数学家真的关心 "真"和"假"吗？如果是外在世界的"真"和"假"呢？

希尔伯特学派提出的理想化数学模型认为，上面几个问题的答案分别是"是的，它们是"、"是的，但它们是任意的，我们可以将公理随意更改为其他系统"、"不关心"和"不关心"。但就像所有理想化的模型一样，这不是一个准确的表示。

公理可以是任意陈述，但它们几乎从来都不是。通常数学家都有一些理由提出特定的一组公理而不是其他公理。它们与其说是代表"任意陈述"，不如说是代表特定发展的"基本规则"，是作为数学家工作基础的最低限度的商定断言。通常，这些公理是对实际观察的提炼，或者是以一种适合数学处理的方式抽象现实世界的尝试。基于几个世纪的工作和观察，微积分的思想（一个明显的经验发展，它旨在提供研究运动的工具）已被提炼成一系列有关实数的"公理"。这些公理是 18 和 19 世纪的数学家在避免悖论、实用和好用之间做出的妥协。

在某种程度上，这些公理是"无可置疑的"，因为从数学的角度看，它们在经验意义上的"真实性"几乎没有问题。与之相对，当一个数学理论源自它试图抽象和研究的真实世界情况时，它的公理很少不受质疑或未经修改，因为人们总是试图确保抽象理论尽可能接近实际情况。数学理论与现实世界之间存在持续的反馈和微调。

此外，虽然数学确实通常不说"真"和"假"，而是说"可证明"和"可证伪"，但这并不意味着它与外界没有联系或应用。数学定理从来都不是简单的陈述；相反，它们总是暗示。所有数学定理的形式都是"如果（满足某些条件），那么（将得出这个结论）"。此外，每当我们在一个具体模型中解释该理论时，它都是正确的。

正如希尔伯特在他对几何学的评论中指出的那样，一个公理系统不应该依赖于所有未定义术语或公理的任何具体含义。然而，这意味着如果我们从这些公理中得出一些数学上正确的结论，那么它们在任何解释中都是正确的。如果我们将一个几何定理中的"点"解释为"桌子"，"线"解释为"椅子"，"平面"解释为"啤酒杯"，那么这个定理将为我们提供关于桌子、椅子和啤酒杯的正确解释（假设公理在这时也是真的）。这样说来，数学肯定与现实世界有联系，也有测试和检查这种解释有效性的能力。此外，即使我们认识到我们可能赋予"点"、"线"和"平面"等未定义术语的语义含义在证明中不应发挥作用，但这些语义含义通常对证明和定理有启发。即使"圆"和"线"是在证明本身中不应包含任何语义内容的术语，数学家还是会画一个圆和一条线来帮助确定想法或启发证明。

数学要求的证明标准实际上确保了只要前提（包括公理）为真，结论就为真；如果结论是错误的，则至少有一个前提为假。依赖可证明性而不是真理性给我们提供了灵活性和确定性。通过依赖抽象而非具体的考虑，我们确保（或至少试图确保）我们的推论确实适用于任何具体的解释。

大多数数学家在做数学时通常会有一些特定的解释。可是，我们可能会在证明中无意中使用该解释的具体属性，并得到在其他解释中无效的结果。欧几里得也曾落入这样的陷阱。他的《几何原本》第 1 册的命题 1 依赖于一个显而易见的事实：两个特定的圆段有一个共同点。然而，这个"显而易见的"事实实际上并不是从公理中得出的。欧几里得的理论需要一些新的公理才能成为真正的定理，只有所有公理（包括旧公理和新公理）都为真，他的理论才会为真。

正是因为这种危险的存在，数学才发展出它的证明标准。就像其他科学根据自己的经验发展出自己的科学一样。在这方面，数学也表现出一门科学的特征。

结论

数学是一门科学吗？我相信是的。它遵循科学方法（尽管很可惜，流行的写作风格掩盖了这一事实）。虽然它似乎（有时声称）生活在自己的小世界中，而不关心现实，但事实是，即使以"最纯粹"的名义，它也会密切关注现实的应用和启发。毫无疑问，在 "应用"的幌子下，它贴近现实，并且它的假设、问题和结论在此背景下不断得到检验和完善。尽管如此，它也与其他科学不同，它的标准更高一些，更确定一些。但这部分是数学作为一门科学的力量，而不是一个不合格的属性。

那么，回到我们对科学的定义，数学是否满足要求？它试图区分真实陈述和虚假陈述。然而，我们在这里必须理解，"真实陈述"并不是孤立地指代一个定理或引理，而是指一个定理给出的隐含陈述，即只要所有公理和假设在某种解释中都为真，则该定理的结论的相应解释也为真。同样，"错误陈述"意味着至少有一种解释使公理和假设为真，同时使结论为假。

毫无疑问，数学通过系统证明的方式实现了这一点。任何人都可以检查证明过程。他们被鼓励通过逐行检查证明过程并认可其有效性（或要求澄清，甚至指出错误）来"重复实验"。曾经被认为正确的结果突然被一位数学家指出论证中的缺陷，这种事确实发生过。有时整个证明过程都会被否定，有时它只需要"修复"。

通过使用证明，数学有一种非常系统的方法来验证它的主张：可以通过提出反例或指出证据中的疏漏来发现错误。绝大多数人都认可这种系统性的方式。

最后，应该确认数学确实符合科学定义的要求；它对科学方法的特殊解释，它的特殊阈值，可能在数量上与其他科学不同，但在质量上是相同的。此外，它在科学中发挥着独特的作用，是许多其他科学方面不可或缺的工具。

• 原文链接：Is Mathematics Science？

本文来自微信公众号：中科院物理所 （ID：cas-iop）《数学应该是一门科学…… 吧？（上）（下）》，作者：Arturo Magidin，翻译：藏痴，审校：云开叶落