小学就会背的乘法表，还藏着这么多秘密？

乘法表可以追溯到 4000 多年前的巴比伦人。最早的十进制的例子出现在大约公元前 300 年的中国，由竹简制作的乘法表可以计算小于 99.5 的整数和半整数的乘积；此外我们可辨认的还有大约公元 100 年时，尼可马库斯（Nichomachus）在他的《算术导论（Introduction to Arithmetic）》中提到的毕达哥拉斯表。

如今在学校里，乘法表是学生们通过死记硬背和快速记忆练习来学习乘法的工具。虽然有些人认为掌握乘法表本身就是一种成就，但此外它还为学生打下了坚实的数学基础。让我们来深入研究一下，从一些有趣的视角来揭示隐藏在乘法表的奥秘。

三角形数

在解释什么是三角形数之前，让我们看看这个乘法表，以及我们可以用它来做什么。表中的第一行和第一列都包括了数字 1 到 10，而其他的方格中填充了所在行中的第一个数字与列中第一个数字的乘积。

我们在表格的顶部和左侧各添加一行 / 列 0，仍然是一个乘法表，只是便于我们看出下面的一些图案。

现在，我们把 2 的倍数（所有的偶数）对应的方格都涂上蓝色。这意味着，与 2 的倍数对应的所有行和列也都是蓝色的，这样我们就得到了一个蓝色的网格。不在这个蓝色网格中的方格都是白色的。(这里我们在水平方向和竖直方向将表格扩展到了数字 16。)

现在，我们把所有 3 的倍数的方块都涂成蓝色。和前面一样，我们得到了一个蓝色的网格，其中的行、列均对应于 3 的倍数。中间剩余的四个白色方格组成了一个更大的正方形（2×2=4）:

如果我们把所有 4 的倍数的方块都涂成蓝色，同样可以得到一个蓝色的网格。在这种情况下，蓝色网格外的地方构成包含 3×3=9 个小方格的正方形，这些正方形并不完全是白色的，因为中间的方块是蓝色的。出现这种情况是因为 4 不是质数。

一般来说，如果你选择一个正整数 k 并且用蓝色表示乘法表中所有 k 的倍数，那么你会得到一个相应的蓝色网格，剩下的 (k-1)² 个小方格会组成一个正方形。k 是否为质数决定了这些正方形是纯白色还是包含一些蓝色小方格。

这很有趣，我们换一个 k. 下图是我们从 k=6 得到的图案 (你可以很容易地想象 k=5 的图案，因为 5 是质数)。

让我们看看三角形数如何出现在图中。三角形数是一种数字，它可以用一组点构成的图案来表示，这些点排列在一个等边三角形中，每边有相同数量、间距相同的点。

例如:

第一个三角形数是 1，第二个是 1+2=3，第三个是 1+2+3=6，第四个是 1+2+3+4=10，以此类推。通常，第 n 个三角形数 T_n 是从第一个数 1 到 n 的和：

我们怎样才能在乘法表的方格里找到这些神奇的数字呢？首先，让我们再看一下乘法表，其中 3 的倍数对应的方格是蓝色的。（我们忽略了蓝色是 2 的倍数的乘法表，因为数学家们认为它是平庸的（trivial）：没有什么意思）。乘法表中 3 的倍数涂成蓝色之后的第一个白色方块是这样的:

把这个白色正方形里的数字加起来得到：

9 不是一个三角形数，但它是一个三角形数的平方。准确地说，它是第二个三角形数 T₂ 的平方。

现在，我们来看看将乘法表中 4 的倍数对应小方格涂成蓝色之后得到的第一个白色正方形:

把这个正方形里的数字 (包括中间蓝色小方格里的数字) 加起来得到结果：

在这种情况下，和等于第三个三角形数的平方。

用不了多久，你就会发现 k=5 和 k=6 也有同样的规律。

当 k=5 时，第一个正方形里的数字之和：

当 k=6 时：

这是一个普遍的规律吗？

我们把任意一个 k 的倍数涂成蓝色，都是这样的吗？如果是，那么将乘法表中 k 的倍数涂成蓝色之后围成的第一个正方形内所有数字求和之后，便能求得第 k-1 个三角形数 T_k-1。

我们来看看这是否正确。乘法表中，我们会看到第一行方块的组成数字是：

第二行由这些数字乘以 2:

第三行由第一行中的数字乘以 3:

以这种方式一行接一行地继续下去，直到正方形的最后一行：将第一行的数字乘以 (k-1)：

再把这些行中的数字相加：

提出 (1+2+3+…+k-1)，式子变成：

如上所述：

因此，我们证明了第一个大正方形内所有数字之和 Tk-12 等于第 k-1 个三角形数的平方。

平方数

在整数的海洋中，乘法表主对角线（从西北角到东南角）上的红色数字显然是平方数 -- 整数的 2 次方。

乘法表中不仅可以找到三角形数，还可以找到平方数。在前面的介绍中我们知道，乘法表中将数字 k 的倍数填充为蓝色，由这些蓝色方格所包围的正方形中数字之和与一个三角形数有关。方格中数的和等于 (2m-1)(2n-1) T_k-1²，其中 m 和 n 分别表示从顶部和左侧算起的方格数目，T_k-1 是第 k-1 个三角形数。

我们可以看到，主对角线 (从西北角到东南角) 上蓝色倍数所包围的正方形格之和也是平方数。从文章的原始求和公式出发能够很容易地证明这一点，因为垂直和水平的位置是相同的，我们在公式中只使用 m：

分裂方格

如果深入研究乘法表中其他不同尺寸和位置的方格结构，我们可以找到更多的平方数。基于主对角线的方形格子似乎总能产生平方数，而这个平方数与所选方格共有的列指标与行指标之和密切相关。

由第 2 行第 2 列的单个方格（橘色部分）得到平方数 2²=4；第 3、4 行与第 3、4 列交叠处有四个方格（红色），将四个方格中的数字加在一起得到 (3+4)²=49；而第 5、6、7 行与第 5、6、7 列交叠出有九个方格（绿色），将这九个方格的数字加在一起得到 (5+6+7)²=324。

乘法表，左侧为行指标，顶部为列指标。

当一个方格由非连续的行和列相交产生时，这似乎也成立。如果我们取第 1、4、8 行与第 1、4、8 列的交点，则（分立的）方格的中数字之和是：(1+4+8)²=169.

对于乘法表中三个整数 a、b、c 定义的方格，可以通过数学运算得出对这三个数都适用的公式。在上面的例子中，方格中的数字之和是：

更一般的有：

通过将相同的行指标 (a、b、c) 与对应的列指标 (a、b、c) 相交方格中的数字求和，给出了行 / 列指标和的平方。这能扩展到 4 个数字，5 个数字，甚至更多吗?

平方的平方数和立方的平方数

基于这一知识，我们可以发现一些特殊的模式。例如，让我们来看看以连续奇数为行指标和列指标对应的行，你会很快发现连续奇数（从 1 开始）的和等于一个平方数。

因为连续奇数的和是一个平方数，那么连续奇数对应的行 / 列指标的和就是一个平方数。那么行 / 列指标的和的平方将是一个平方数的平方：即一个数字的四次方。因此，我们可以用这种特殊的格阵形式从乘法表中得到 4 次方的正整数。

将连续奇数行和连续奇数列交点上的蓝色正方形求和会得到 4 次幂的数。

我们可以使用另一个有趣的结论，一个立方数 (一个数的 3 次方) 可以写成一个连续奇数的和。例如，1³=1，2³=8=3+5，和 3³=27=7+9+11.因此，如果我们选择的是这些连续的奇数行和奇数列的交点的方形格，这些方形格中数字的和将是一个立方数的平方，也就是一个数的 6 次方。下面的绿色方块是第 3、5 行与第 3、5 列的交点，它们的和是 (3+5)²=(2³)²=2⁶. 黄色方块是第 7、9、11 行与第 7、9、11 列的交点，它们的和是 (7+9+11)²=(3³)²=3⁶.

数学老师总是在寻找新的方法来介绍乘法、指数和代数的概念。如果我们跳出思维定式，就会发现乘法表不仅仅是用来记忆乘法表的工具。如果我们选择潜入湛蓝的海水深处，我们将在她的海底发现许多数学宝藏。

原文链接：

• https://plus.maths.org/content/powers-multiplication-table

• https://plus.maths.org/content/triangular-patterns

本文来自微信公众号：中科院物理所 （ID：cas-iop），作者：Tony Foster 、 Sai Venkatesh、Zoheir Barka & the Plus team，翻译：C&C，审校：zhenni