数学家死磕欧拉方程 10 年，用计算机找到了让它失效的“奇点”

原文标题：《华人数学家死磕欧拉方程 10 年，用计算机找到了让它失效的"奇点"》

专研长达 10 年，论文足足 177 页。

数学家通过计算机，找到了让著名欧拉方程失效的"奇点"。

欧拉方程，是 250 年前（1755 年）由瑞士数学家欧拉提出，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程。

它可以说是"鼻祖级"的方程，正如杜克大学数学家 Tarek Elgindi 的评价：

几乎所有的非线性流体方程都是从欧拉方程推导出来的。

即便如此，几百年来仍有许多"未解之谜"让数学家们困惑不已。

例如原则上，如果你已知流体中每个粒子的位置和速度，欧拉方程应该能够预测流体将如何一直演化下去。

但数学家们认为，欧拉方程在某个"奇点"上便会开始输出没有意义的数值，也就是无法再做精准预测。

而一旦达到这个点，人们就认为欧拉方程失效了，更戏剧化的说法，叫做产生了"爆破"（blow up）。

来自加州理工学院数学家 Thomas Hou 等人所做的研究工作，就是通过计算机对此做出了证明。

马里兰大学数学家 Tristan Buckmaster 在看完这项工作后说：

这是一个惊人的结果。

此前从来没有过。

用计算机证明欧拉方程的"爆破"

早在 2013 年的时候，Thomas Hou 和现在就职于香港恒生大学的 Guo Luo 就提出过一个假设：

欧拉方程会导致一个奇点。

为此，他们开发了一种计算机来模拟圆柱体中的流体：

圆柱体内的液体，上半部分是顺时针旋转，而下半部分则是逆时针旋转。

这两股相反方向的水流在运动的过程中，产生了其它复杂的情况 -- 出现上下循环的水流。

而在它们相遇的地方，流体的涡度（描述流体旋转情况的流体力学概念）以极快的速度增长，似乎随时就要"爆破"。

但他们当时的研究只能说对于"奇点存在"是具备启示性，并没有真正意义的证据。

这是因为计算机不可能计算出无穷大的值，它可以算出的是非常接近奇点的近似值，但并非是精准的那种。

事实上，当用更强大的计算方法探测时，明显的奇点却已经消失了。

也正因如此，普林斯顿大学数学家 Charlie Fefferman 评价过去人们对这件事的研究为：

问题非常的微妙，以至于到处都是模拟研究的"残骸"。

但 Thomas Hou 等人却不为所动，坚持"死磕"这一难题。

终于在 9 年后，他和他之前的研究生 Jiajie Chen 成功证明了附近奇点的存在。

他们先是仔细分析了 2013 年的研究，发现那个近似解似乎有一个特殊的结构：

随着时间的推移，这些方程的解会呈现出一种所谓的"自相似模式"（self-similar pattern），它的形状后来看起来很像它的早期形状，只是以一种特定的方式重新缩放。

因此，二人认为不需要去研究奇点的本身，相反，可以关注更早的时间点来间接对它做研究。

具体而言，就是通过正确的速率放大解的这部分（是由解的自相似结构决定的），可以模拟之后会发生什么。

为此，他们花费了好几年的时间才找到了与 2013 年"爆破"情况类似的自我模拟方案。

然后二人需要做的工作，就是证明奇点附近存在一个精确的解。

从数学层面上来说，就是要证明他们找到的那个解是稳定的，即便对它进行扰动，结果也能在近似解周围小邻域的范围内。

但在这个过程中，Thomas Hou 发现，他们不得不再借助计算机的力量，因为有太多的精度要确定，计算量简直大到惊人的程度。

但也正如刚才我们提到的，计算机是无法计算无穷大的值，微小的错误可以说是在所难免，因此他们也要小心地跟踪这些错误，以免影响到其它结果。

最终，在"人机结合"的方式之下，Thomas Hou 和 Jiajie Chen 最终找到了所有项的边界，并完成了证明 --

欧拉方程确实会产生一个奇点。

而这次的证明过程，让 Thomas Hou 感受颇深：

现在的数学工作不再是靠纸和笔，计算机是一种更强大的武器。

对此，Fefferman 也补充道：

在我看来，如果不大量使用计算机辅助证明，就好像把（数学家）的双手绑在背后一样。

作者介绍

这项研究的作者之一是 Thomas Hou，加州理工学院计算与数学科学教授，专攻数值分析和数学分析相关工作。

他本科就读于华南理工大学，于 1982 年获得学士学位；他的博士生涯是在加州大学洛杉矶分校完成。

1989 年到 1993 年期间，他在纽约大学库朗数学科学研究所任教。

自 1993 年至今，他便一直在加州理工学院任教。

研究的另一位作者是 Jiajie Chen，目前是纽约大学的数学科学家。

他在研究生期间就证明了各种流体方程式可以"爆破"。

论文地址：

https://arxiv.org/abs/2210.07191

参考链接：

• [1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/

• [2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou

本文来自微信公众号：量子位 （ID：QbitAI），作者：金磊