本文介绍一种名叫 Virtual Adversarial Training (VAT) [1]的方法，是一种对于给定条件标签分布的资料度量该分布区域性光滑性的一种方法。其实就是对于每一个数据点，它的条件标签分布对于区域性的扰动鲁棒性怎么样，是否资料的一点小变化，就会导致预测的其标签的大变化。这种情况在研究对抗样本的时候很常见，比如本来一张猫的图片，稍微加了一点扰动，神经网络就将其判为梨这种完全不一样的类别，这显然不是我们想要的。一、动机为什么会想到用光滑性smooth来做正则化呢？正则化从贝叶斯的角度来看，是加了先验资讯到模型里面。而自然界的很多物理系统，都是可以用基于微分方程光滑模型描述。所以作者就想到了把条件标签概率约束成光滑的，在输入变化很小的情况下，输出也变化很小。满足光滑的情况下，如果对抗样本相比于原样本变化（某种度量下）很小，那么标签应该也不会有太大变化。
优点：VAT在对抗训练的时候，不需要标签资讯，所以可以应用于无监督学习。此外，VAT的计算代价也是很低的。
与Goodfellow提出的监督学习对抗方法adversarial training[2]不同的是，VAT找的方向是能使预测的输出分布偏离现状的方向，而adversarial training找的是使模型预测最大地偏离正确label的方向。我们可以称目前模型预测的label是虚拟label（virtual），那么该方法不需要真实的label存在，可以用于无label的无监督学习。
二、方法一些符号定义表示输入向量，维度是；表示输出标签，是标签空间；输出分布，是模型引数；用表示某一步训练之后的模型引数；表示有标签的资料集；表示无标签的资料集。我们使用和训练模型。
对抗训练要讲VAT，首先要从Goodfellow的adversarial training开始，其损失函式为：
其中，是一个非负度量函式，度量分布之间的距离，比如交叉熵，我们可以称是对抗的扰动，也就是对抗的一方想找出来用于攻击的量，对抗的另一方想尽量减小这个量对模型的影响。对于adversarial training来说，是真实label 的one-hot编码向量。对于这个优化问题，我们没法得到闭式解，但是对抗的方法本来也就是迭代求解的，我们可以得到近似的解，比如：
或者：
对于神经网络来说，是可以用反向传播计算的。很明显，对抗方法找到的扰动方向，比随机找一个扰动是要来的好的。虚拟对抗训练：VAT那么如果训练样本没有标签，或者有一部分资料没有标签怎么办呢？VAT就是要解决这样一个问题。
我们把统一记为，VAT目标函式为：
之前的是用的label的one-hot编码，这边没有了label，VAT用近似代表。作者认为如果有标签的样本比较多，那么是离比较近的，这也是文章用virtual 这个词的原因。所以在迭代过程中，用上一步的代替，损失函式变为：
于是，给整个目标函式加上LDS：
其中，是有标签资料的负对数似然函式。整个正则化过程，只有两个超引数和。作者实验过程中，将固定为1，这样就只有一个超引数了。具体计算注意到之前算，如果换成，那么永远是0，就没法算了，所以得用到二阶资讯。如果一阶导数为0，则
其中，是海森矩阵，记为H。再把记为。那么计算
其中，是最大特征值对应的特征单位向量。为了计算特征向量，作者使用一种能量迭代方法[3]，令是一个随机取样的单位向量，假设与不垂直，那么随着迭代就可以让收敛到。为了避免算，这边将也近似替代：
那么就可以计算：
原文算法描述如下：
作者对算例描述：
实验部分：
参考文献[1]. Takeru Miyato, Andrew M Dai, and Ian Goodfellow. Virtual adversarial training for semi-supervised text classification. stat, 1050:25, 2016.
[2]. Ian Goodfellow, Jonathon Shlens, and Christian Szegedy. Explaining and harnessing adversarial examples. In ICLR, 2015.
[3]. Gene H Golub and Henk A van der Vorst. Eigenvalue computation in the 20th century. Journal of Computational and Applied Mathematics, 123(1):35–65, 2000.
编辑：刘杨珂
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